Вейвлет-преобразование

Введение

В буквальном переводе с английского языка слово wavelet означает маленькая волна, такое название объясняется формой функций,используемых в вейвлет-анализе. Термин вейвлет-анализ по смыслу аналогичентермину Фурье-анализ. В обоих случаях речь идет о представлении исследуемогопроцесса в виде линейной комбинации различных функций, именуемых базисомсоответствующего преобразования. Для вейвлет - анализа характерно понятиемасштаб (scale), даже графическое представление ввиде диаграммы специального вида именуется скейлограмма или скалограмма(scalogramm). Под масштабом следует понимать колебательныепроцессы различной периодичности. Будем говорить, что низкочастотные колебанияимеют более крупный масштаб, а высокочастотные - более мелкий. Вейвлет- анализ называют микроскопом, поскольку он позволяет исследовать каждыймасштаб с необходимой и достаточной для него разрешающей способностью.Как образно сказано в [2], можно увидеть и лес, и деревья.

1. Сопоставление вейвлет - преобразованияи преобразования Фурье

Для преобразования Фурье (FT) базисом являются функцииw_n(t), полученные из функции w(t)= e ^{i t} = cos t + i sin t, путем масштабногопреобразования w_n(t) = w(nt). w(t)имеет период 2p. FT широкоиспользуется для спектрального анализа сигналов, однако имеет ряд недостатков:а) исходный сигнал заменяется на периодический, с периодом равным длительностиисследуемого образца, б) FT плохо работает при изменениипараметров процесса со временем (нестационарности),поскольку дает усредненные коэффициенты для всего исследуемого образца(см. рис.1-4.).

Рис.1Исходные данные, представляющиесумму четырех синусоид одинаковой амплитуды и разной частоты.(данныйрисунок взят из [2])

Рис.2Преобразование Фурье длямассива, представленного на рис. 1. (данный рисунок взят из [2])

Рис.3Исходные данные, представляющиепоследовательность четырех синусоид одинаковой амплитуды и разной частоты.(данный рисунок взят из [2])

Рис.4Преобразование Фурье длямассива, представленного на рис. 3. (данный рисунок взят из [2])

Как видно из рис.4, FT не даетпредставления о динамике изменения спектрального состава сигнала, Фурье-образна рис.4 - искаженный Фурье-образ рис.2, т.е. FT усредняетспектральные характеристики сигнала.

Вейвлет-преобразование (WT) в большойстепени позволяет преодолеть перечисленные недостатки FT,поскольку базисные функции WT обладают свойствомвременной локализации, т.е. обладают конечной энергией (нормой):.

Как и для FT, для построения базисаWT используется одна функция, именуемая материнскимвейвлетом (mother wavelet) - j(t).На рис.5 представлены примеры часто используемых вейвлетов:(а)WAVE, (б)MHAT - ?мексиканскаяшляпа¦, (в)Morlet - Морле,(г)Paul - Пауля, (д)LMB,(е)Daubechies - Добечи. Вейвлеты (в)и (г) являются комплексными.

Рис. 5 Временное представление некоторых вейвлетов исоответствующие им Фурье-образы. (рисунок взят из [1])

2. Построение базиса вейвлет-преобразования

Вейвлет-преобразование сигнала f(t) заключаетсяв разложении в виде , где y(t) - называютотцовским вейвлетом, являющийся аналогом константы,а{j_jk(t)} - базисWT, т.е. функции, полученные из материнского вейвлетаj(t) путем двухосновных операций: сжатие (scaling) и сдвиг(shifting), при этом производится временное сжатиев раз и сдвигполученной функции на : , например

Рис. 6Преобразования вейвлета(рисунок взят из [4]) :

а) материнский вейвлет,
б) ?сжатый¦ (scaled) вейвлет,
в) ?сдвинутый¦ (shifted) вейвлет,
г) вейвлет, подвергнутый комбинированному преобразованию(scaled and shifted).=

Вычислительная процедура дискретного WT (DWT)состоит в вычислении временной свертки сигнала с j_jk(t).Поскольку длина вейвлета для каждого последующегомасштаба уменьшается в 2 раза, для DWT используетсявычислительная процедура, аналогичная быстрому преобразованию Фурье (БПФ).Для масштаба j=1 определяется 2 коэффициента:c₁₀ и c₁₁, для j=2 - 4 коэффициентаи т.д., поэтому вычислительный алгоритм DWT называютпирамидальным алгоритмом. Примеры DWT и егоиспользования для фильтрации шумов приведены в [3,4,...]. Дляудаления шума производят DWT, обрабатывают полученныйобраз и производят обратное вейвлет-преобразование (IDWT). АлгоритмIDWT аналогичен алгоритму DWT. Необходимымусловием для возможности осуществить восстановление сигнала по его DWTпутем обратного преобразования является ортогональностьбазиса. К ортогональным относится базис на основе вейвлета Добечи.

3. Непрерывное вейвлет-преобразование(CWT)

, где s -масштаб.

Для анализа структуры сигналов удобно пользоваться отображениемнепрерывного WT (CWT - [2]) на скейлограмме (scalogramm). Особенно выразительныскейлограммы для базисов, основанных на комплексных вейвлетах, в частности- на вейвлете Морле. При этом на скейлограмме отображается амплитуда преобразования- sqrt(Re[CWT(t,s)]^2+Im[Re(CWT(t,s)]^2).Поскольку вейвлет Морле - произведение действительной имнимой экспоненты, кроме вейвлетов целочисленных масштабов, можно определитьдробные масштабы, изменяя bиw:

На рис.6-9 преставленны скейлограммы реальных процессов- изменение цены закрытия акций Лукойл за различные периоды. Нарис. 7 и 9 видны последствия финансового кризиса 28.10.97, для анализабольший интерес предствляют рис. 6 и 8. Масштаб на скейлограммах - выраженаяв сутках длительность вейвлета.

Рис. 6

Рис. 7

Рис.8

Рис. 9

Список литературы и ссылки в Internet

Н.М. Астафьева. Вейвлет-анализ: основы теории и примерыприменения.// Успехи физических наук, том 166, ¦11 - 1996.

Robi Polikar. The Engineer's Ultimate Guide to Wavelet Analysis. TheWavelet Tutorial.
[http://www.public.iastate.edu/~rpolikar/WAVELETS/WTtutorial.html]

Amara Graps. An Introduction to Wavelets. [http://www.amara.com/IEEEwave/IEEEwavelet.html]

Vidakovic, Brani, and Muller, Peter, "Waveletsfor Kids," unpublished, "wav4kids[A-B].ps.Z". [ftp://ftp.isds.duke.edu/pub/Users/brani/papers]

G.P. Nason, B.W. Silwerman. The Discrete Wavelet Transformin S. Journal of Computational and Graphical Statistics, 1994.