Симбирск, УлГУ

Вейвлеты

Там, где терпит неудачу язык математики,
человеческий дух ничего уже не сможет
понять и узнать. ( Н. Кузанский )

Исследуем последовательность длительностей правления магистров при помощи комплексного вейвлет-преобразования. Идея этого метода заключается в свёртке исследуемого сигнала с финитной базисной функцией ψ(t), моделирующей уединённую комплекснозначную волну, называемой вейвлетом (всплеском) и в последующем изучении полученного интегрального преобразования исходной функции. Мы попадаем в один специальный случай операционного исчисления, изобретённый Ингрид Добечи. Популярному введению в эту теорию посвящён восьмой номер "Компьютерры" за 1998 г., смотри, например, статью Л.И. Левковича-Маслюка ( [14] ) ( http://www.computerra.ru/offline/1998/236/1123/ ), более основательная статья Н.М. Астафьевой о вещественных вейвлетах ( [15] ) ( http://www.ufn.ru/ufn96/ufn96_11/Russian/r9611a.pdf ) является хорошим пособием для университетов.

Анализируя модуль вейвлет-преобразования, можно выявить некоторые свойства исследуемой последовательности (такие, как локальная периодичность). Свёртка вычисляется по формуле:

В своей работе в качестве базисного вейвлета мы использовали функцию Морли. Для иллюстрации метода покажем модуль комплексного вейвлет-преобразования синусоиды с периодом 14:

Рис 4. Модельный сигнал

Рис. 5. Модуль вейвлет-преобразования |W(a,b)|

На модуле вейвлет-преобразования синусоиды (см. Рис. 4 выше) мы можем увидеть яркую полосу на высоте, соответствующей её периоду. Комплексное вейвлет-преобразование может указывать на скрытые внутренние корреляции последовательностей даже там, где их сложно ожидать. Рассмотрим, к примеру, слово Туэ-Морса:

0110100110010110100101100110100110010110011010010110100110010110...

Сочтём его графиком кусочнопостоянной функции с шагом 1, принимающей значения "0" и "1". Тогда модуль вейвлет-преобразования на отрезке [0; 256] будет выглядеть следующим образом:

Рис. 6. Модуль W-преобразования слова Туэ-Морса

Заметим, что несмотря на то, что слово Туэ-Морса является сильно бескубным ( в частности, из этого следует, что в нём не встречаются трёх одинаковых последовательных участков,– см. [16, гл. 1] ), неровная светлая полоса на уровне 3-х свидетельствует о том, что это слово статистически очень похоже на 3-периодическое и имеет так же локальную автокорреляцию с периодом около 5-ти (всего лишь!). Очень интересны регулярные тёмные пятна, указывающие на сильную локальную автоантикорреляцию с периодами около 1, 2, 4, 8. Теперь, экспериментально узнав об этом факте, можно доказать его строго математически (идею подобного доказательства нам предложил Леонид Самойлов, но оно выходит за рамки нашей работы).

Если мы рассмотрим модули вейвлет-преобразований, соответствующих длительностям магистратов (см. Рис. 8 ниже, на Рис. 7 изображена гистограмма длительностей управления последовательных магистров, первому из них, - Жерару, сопоставлено нулевое значение, - см. список магистров в начале главы 2), то можем увидеть отчётливую полосу, выявляющую смазанный период порядка 14-ти – он локализован во второй половине списка. Яркое пятно на уровне 7-ми соответствует локальной 7-периодичности, наоборот, – в первой половине списка, погашающейся во второй.

Рис. 7. Длительности магистратов

Рис. 8. Модуль W-преобразования, a до 20

Рассмотренное ранее локальное исправление хронологии ордена (см. Рис. 2 выше; гистограмму на Рис. 9 ниже) приводит к усугублению эффекта, при этом становится немного более отчётливой полоса на высоте 14 во второй половине списка, но особенно – яркое пятно в районе 7-ми в первой половине (см. Рис. 10 ниже). Наши исследования комплексного вейвлет-преобразования показали, что яркость полос локальных автокорреляций зависит от параметра "а", – в некотором смысле обратная к "а" величина характеризует "энергию" входящей в разложение волны, и поэтому более короткие автокорреляции "светятся" ярче. Этот эффект можно (и наверное нужно) снять, убрав множитель перед интегралом в формуле вейвлет-преобразования. Но вейвлет-преобразователь, которым мы пользовались, запрограммированный С.В. Чесноковым, пока что работает по классической схеме И. Добечи. Это необходимо учитывать при анализе полученных изображений.

Рис. 9. Подправленные длительности магистратов

Рис. 10. Модуль W-преобразования, a до 20

Можно более отчётливо рассмотреть пятно соответствующее локальной автокорреляции со сдвигом на 7 магистров (см. Рис. 10. ниже) – изменение рисунка связано с изменением масштаба изображения:

Рис. 11. Модуль W-преобразования, a до 10

Приведённые расчёты и их результирующее изображение (см. Рис. 7, 9, 10 выше) наглядно иллюстрируют наличие внутренних корреляций в хронологии Мальтийского ордена.