1. Всякая ли функция может быть вейвлетом?
Для того, чтобы функция была вейвлетом, необходимо выполнение нескольких условий:
А). функция должна быть локализована во времени (условие квадратичной интегрируемости: ее энергия должна быть сконцентрирована или стянута внутрь некоторого сегмента), что является возможным при выполнении одного из законов убывания:
- 
, где 
;
- более быстрого, чем ;
- экспоненциального 
, где 
;
В). образ Фурье функции должен быть локализован по частоте;
С). хотя бы первый момент 
должен быть равен нулю;
D). Континуальные функции должны образовывать базис Рисса.
В континуальных вейвлетах роль функции, концентрирующей энергию на некотором интервале, играет затухающая Гауссова функция: 
, где 
- есть соответственно СКО и математическое ожидание. Частотный состав вейвлета задаётся, как правило, комплексной экспонентой. Не случайно, большинство континуальных вейвлетов является производными Гауссовой функции.
2. Какова взаимосвязь между масштабом вейвлета и его собственной частотой?
Между концепцией гармоник Фурье и масштабом вейвлета действительно существует некоторая взаимосвязь, не совсем очевидная на первый взгляд. Главное в этой взаимосвязи - обратная пропорциональность собственной частоты и масштаба, взвешенная некоторым коэффициентом пересчета: 
, где 
- собственная частота, 
- масштаб. Коэффициент пересчета k рассчитывается либо простым наложением гармоники известной частоты на вейвлет-спектр этой гармоники, либо выбирается из таблицы коэффициентов пропорциональности. Так, например, для вейвлета "сомбреро" 
, для wave-функции - 
.
Wavelet Toolbox осуществляет пересчет масштаба в частоту функцией scal2frq.
3. Как определить полосу пропускания вейвлета?
Вейвлет-функция - это уже полосовой фильтр, настроенный на какую-либо частоту пропускания. Совокупность вейвлетов образует банк фильтров, поэтому всякая свертка с коэффициентами таких фильтров дает расфильтровку в полосе, занимаемой вейвлетами. Определить же полосу пропускания вейвлета достаточно просто: для этого необходимо построить Фурье-спектр вейвлета.
Например, вейвлет Морле Вейвлет Морле обладает именно той особенностью, что настраивается на нужную пользователю частоту: его аналитическое выражение выглядит как 
, где - частота нужной гармоники.
4. Что такое Q-factor?
Q-factor - это всего лишь "добротность фильтра". Английское название этого термина происходит от слова quality - качество.
5. Как выбрать базис для анализа?
Выбор базиса для анализа данных - дело достаточно ответственное: от выбора зависит результат обработки информации. На практике с целью такого выбора пользуются критерием минимума энтропии. Чем меньше значение энтропии коэффициентов разложения 
, суммируемых по номерам коэффициентов и уровням их размещения, тем оптимальнее для исследуемых данных базис анализа.
6. Как удалить в сигнале только высокочастотную составляющую, оставив тренд?
Удалить ВЧ-составляющую сигнала можно посредством одноуровневого, двухуровневого или более глубокого его разложения посредством функции dwt или wavedec (их использование определяется глубиной разложения), обнуления коэффициентов детализации (для этого в тулбоксе есть функция wthcoef) и последующего восстановления сигнала (здесь можно воспользоваться функциями idwt, waverec опять же в зависимости от произведенной глубины разложения).
7. Что такое биортогональные вейвлеты?
Биортогональные вейвлеты суть пары функций, по одной из которых ведется анализ сигнала, по другой - восстановление. Если один из биортогональных вейвлетов обладает гладкостью r, то парный ему вейвлет автоматически приобретает r нулевых моментов. Биортогональные вейвлеты особенной хороши для анализа сигналов и изображений с целью их сглаживания: чем больше гладкость вейвлета, тем большую часть ВЧ полосы он срезает, и наоборот, чем больше число нулевых моментов вейвлета, тем большее число сингулярностей сигнала (изображения) вейвлет позволяет аппроксимировать.
8. Обязательно ли вейвлет-базис должен быть ортогонален?
Не обязательно. Существуют полуортогональные, биортогональные и вообще неортогональные базисы (базисы Рисса континуальных вейвлетов), между тем, обеспечивающие полное восстановление сигнала (об этом существует ряд теорем).
От базиса требуется не столько ортогональность, сколько, говоря корректнее, линейная независимость. Ортогональность лишь упрощает вычисление коэффициентов разложения: в случае неортогональности базиса для нахождения коэффициентов разложения необходимо решать систему линейных уравнений, в случае ортогонального базиса достаточно вычислить скалярные произведения анализируемой функции и функций базиса.
Итак, ортогональность есть лишь одно из требований. Другим является симметричность. Однако существует теорема, согласно которой симметричностью и ортогональностью может обладать лишь функция Хаара. Поэтому в задачах, где требование симметричности является более значительным, ортогональность заменяют на биортогональность (вспомните теорию квадратурно-зеркальных фильтров). Биортогональные функции построить легче (в Матлабе есть целый набор биортогональных сплайновых функций), да и алгоритмы иногда оказываются попроще (например, лифтинг).
Вообще, Гильбертово пространство является настолько абстрактным, что ортогональные, полуортогональные, биортогональные базисы в нём существуют без помех друг другу.
Литература: Петухов "Введение в теорию базисов всплесков", книга лежит на www.autex.spb.ru; Л. Френкс "Теория сигналов" . - М.: Соврадио, 1974.
9. Как проверить квадратурную интегрируемость вейвлета?
Если вейвлет задан коэффициентами своего фильтра (дискретный вейвлет) или отсчетами значений функции (континуальный случай), ограниченность его проверить достаточно просто: для этого необходимо взять в квадрат коэффициенты (значения функции), например, а.^2, а затем элементы полученного вектора сложить. Есть также функция Wenergy, но о ней лучше написано в разделе Wavelet Toolbox на сайте.
10. Cуществуют ли методы решения задач идентификации с помощью вейвлетов?
Методы решения задачи параметрической идентификации сигналов с использованием вейвлетов находятся в начальной стадии своей разработки. Теоретическую базу вопроса модно найти в статьях, опубликованных в журнале "Датчики и системы" за 2002 год (№№ 1,2,4), а также в журнале "Приборы и системы" за 2002 (№3). В статьях рассматривается вопрос оценивания собственных частот, фаз и декрементов затухания. Можно также воспользоваться функцией scal2frq, имеющейся в Wavelet Toolbox.
11. Возможно ли решение дифференциальных уравнений с использованием вейвлетов? Что почитать по этому вопросу?
Решение дифференциальных уравнений с использованием вейвлетов - новая, только развивающаяся область. Основоположником теории представления дифференцирующих операторов в вейвлет-базисе является G.Beуlkin, профессор университета шт. Колорадо. Его многочисленные работы по интегрированию дифуров можно найти на http://amath.colorado.edu/faculty/beylkin/Home.html. Суть решения ДУ в вейвлет-базисе аналогично разложению операторов в базис Фурье или Лапласа. Однако математический формализм этого решения много сложнее.
12. Вейвлет-анализ фрактальных структур: ПО и литература.
Методики количественной оценки спектра фрактальных размерностей, показатель Херста, методы R/S-статистики лучше всего анализировать с использованием специального пакета анализа фрактальных структур: FRACLAB, он размещается по адресу
http://www.irccyn.ec-nantes.fr/hebergement/FracLab/Fraclab.html
Ряд действий по анализу позволяет осуществлять WaveLAB - приставка к MATLAB.
Литературу о фракталах приведу с удовольствием:
Федер Е. Фракталы
Синай Я.Г. Фракталы в физике
Смирнов Б.М. Физика фрактальных кластеров
13. Подскажите литературу о применении вейвлетов в медициене.
Изучение литературы о вейвлетах в медицине целесообразно начать с научно-популярных статей коллектива авторов, опубликованных в №8 журнала "Компьютерра" за 1998 год: "Дайджест вейвлет-анализа в 2 формулах и 22 рисунках", "Мелковолновый анализ", "Самоподобие, всплески и квазикристаллы", "Вейвлеты в компьютерной графике". В этих статьях даётся неплохой обзор применения вейвлетов для анализа кардиосигналов, методиках поиска заболеваний по рентгенограммам и т.д.
Другая книга - Истомина Т.В., Чувыкин Б.В., Щеголев В.Е. Применение теории wavelets в задачах обработки информации. - Пенза: ИИЦ ПГУ. - 2000, 188 с. Третья часть этой книги посвящена применению вейвлет-анализа в задаче идентификации информативных параметров электрокардиосигнала. Здесь содержится структурированное описание электрокардиограммы, особенности задачи выделения зубцов сигнала, проблема выбора подходящего базиса и вместе с этим экспериментальные результаты, полученные для различных базисов и электрокардиосигналов со всевозможными видимыми и скрытыми патологиями.
Множество литературы (англоязычной) имеется на www.wavelet.org.
14. Можно ли применять вейвлеты для сжатия информации? Есть ли гарантии полного восстановления информации?
Именно для этого вейвлеты и были придуманы Мейером, Гроссманом и Добеши (в разное время). Авторы вейвлетов решали задачу сжатия графической информации (отпечатков пальцев американцев), при этом вейвлеты выиграли конкурс на лучший метод сжатия (JPEG этот конкурс проиграла), искали закономерности в огромных объемах геологоразведочных данных и т.д.
Любое разложение по вейвлет-функциям обладает свойством полного восстановления (об этом существует ряд теорем). Для этого не обязательно требовать, чтобы разложение было только, например, дискретным. Континуальное преобразование также подразумевает полное восстановление по функции CWT (в данном случае полное восстановление происходит в базисе Рисса).
15. В Wavelet Toolbox не реализовано обратное непрерывное вейвлет-преобразование. Каким образом это преобразование можно выполнить?
К сожалению, в Wavelet Toolbox функции, реализующей обратное НВП, нет. Однако для решения скромных задачек разделения частот в узкополосных стационарных сигналах можно воспользоваться функцией ICWT, выложенной в разделе.
16. Каким образом вычисляются коэффициенты фильтров Добеши?
Прежде всего, вспомним 2 главных уравнения многомасштабного анализа для скейлинг- и вейвлет-функций:
,
,
в которых 
- коэффициенты искомых фильтров.
Из свойства ортогональности скейлинг-функций 
имеем следующее уравнение на коэффициенты:
 . |
(1) |
Ортогональность вейвлетов скейлингам даёт уравнение 
, решением которого является выражение 
. Иначе говоря, коэффициенты вейвлет-фильтра определяются коэффициентами скейлинг-фильтра.
Условие ортогональности вейвлета полиномам степени меньшей или равной М-1, определяющее его гладкость и знакопеременность, т.е. 
сводится к соотношению 
или, что то же самое,
 . |
(2) |
Условие нормировки дает еще одно уравнение
 . |
(3) |
Выписывая уравнения (1 - 3) в явном виде, имеем:
,
,
,
.
Решением этой системы являются коэффициенты скейлинга:
,
,
,
,
из которых с использованием выражения можно получить коэффициенты вейвлет-фильтра.
Приведенный пример является простейшим для случая М=2 (наличия двух вырожденных моментов). Понятно, что для синтеза функции Добеши с 10 вырожденными моментами необходимо построить систему из 20 уравнений.
Чтобы не решать сложную систему уравнений в Wavelet Toolbox имеется функция функция
[Lo_D,Hi_D,Lo_R,HI_R]=wfilters("dbN"),
возвращающая численные значения коэффициентов фильтра dbN. Единственное, на что необходимо обратить внимание при использовании этой функции, - наличие 4 выходных векторов коэффициентов скейлинг и вейвлет-фильтров разложения и синтеза.
Наконец, в GUI тулбокса есть раздел, посвященный дискретному анализу. На странице GUI есть выпадающий список со всеми дискретными вейвлетами, в том числе вейвлетами Добеши.
17. Чем отличаются коифлеты от функций Добеши?
Койфлеты - родственники ортогональных функций Добеши. Они получаются путем решения системы уравнений, записанных относительно нулевых моментов скейлинг и вейвлет-функций.
18. На странице http://alife.narod.ru/lectures/wavelets2001/part4.html имеется интересное применение вейвлетов в обратных некорректных задачах, а именно при восстановлении сигнала из свертки: http://alife.narod.ru/lectures/wavelets2001/part4.html#convolution. Даны результаты применения. Можно ли объяснить алгоритм решения задачи?
Прежде всего, давайте разберем саму постановку задачи, представленную на данной странице. В частности, автор утверждает, что "Во многих схемах передачи сигнала приемник регистрирует не сам сигнал, а его свертку, подверженную шуму". На мой взгляд, это следует понимать как "Приемник регистрирует отклик объекта, который всегда представляет собой свертку входного сигнала и импульсной характеристики этого объекта, с аддитивным, т.е. с наложенным на выходной сигнал (отклик), шумом". В том случае, если автор пытается решить задачу шумоподавления в отклике, - эта задача классична, поскольку сводится к разложению сигнала на уровни, трешолдингу коэффициентов разложения и синтезу очищенного сигнала по оставшимся коэффициентам. Однако если автор ставит задачу восстановления входного сигнала из свертки, здесь задачка становится как раз некорректной. Правда, существует возможность ее решения, например, с помощью техники обратного континуального преобразования. Во-первых, здесь стоит построить вейвлет-спектр сигнала, во-вторых, посмотреть на составляющие спектра (таковыми составляющими окажутся входной сигнал и импульсная характеристика, наконец, восстановил бы сигнал по той полосе частот, которую входной сигнал как раз и занимает.
19. В одном из примеров GUI (в частности, Wavelet 1-D) один из зашитых сигналов (noissin) можно разложить на 5 составляющих посредством базисного вейвлета Добеши. А как узнать, по каким формулам строились эти 5 составляющих графиков?
Разложение на составляющие по любому из дискретных вейвлетов идет по формулам:
,
,
в которых 
- коэффициенты аппроксимации и детализации разложения, j - номер уровня разложения, k - порядковый номер коэффициентов, векторы h, g - коэффициенты cкейлинг- и вейвлет-фильтров.
20. Как узнать, на какие частоты настраиваются вейвлет-фильтры в синтезируемом пакете?
Для этого достаточно взять коэффициенты каждого из фильтров и построить их спектр.
